3. mathématiques

 

présentation

 

probabilités 4

dans l’article précédent, nous avons vu que la probabilité d’un évènement peut dépendre du fait qu’un autre évènement est survenu ou pas ! c’est typiquement le cas avec les tirages successifs sans remise…

ça nous amène à la notion de « probabilité conditionnelle » : c’est la probabilité d’un évènement, sachant qu’un autre s’est produit !
ça s’écrit P(B|A) : probabilité de B, sachant que A s’est produit…

en reprenant l’exemple de l’article précédent, nous avons donc :
P(B|A)=\dfrac{3}{31} et P(B|\overline{A})=\dfrac{4}{31}

dans ce cas (évènements dépendants), la formule pour P(A\cap B) est la suivante :
P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)

dans l’exemple, ça nous donne donc, pour la probabilité de tirer deux rois :
P(A\cap B)=\dfrac{4}{32}\times \dfrac{3}{31}=\dfrac{3}{248}\approx 0,0121

je vous rappelle que dans le cas d’un tirage avec remise (évènements indépendants) nous avions :
P(A\cap B)=\dfrac{1}{64}\approx 0,0156
soit une probabilité légèrement supérieure… j’espère que votre bon sens vous fait trouver ça normal !

une remarque pour terminer (histoire de prouver la cohérence de l’ensemble) : si les évènements sont indépendants, on a évidemment P(B|A)=P(B), donc dans ce cas P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A) nous ramène bien à P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

tout le monde est prêt pour quelques exercices ? ce sera dans le prochain article ! en attendant, si vous avez des questions, allez-y !

probabilités 3

il ne vous a sans doute pas échappé que, dans l’article précédent, je n’ai pas donné de formule générale pour le calcul de P(A\cap B) ! (autre que le dénombrement des cas favorables et des cas possibles, ce qui n’est pas toujours aisé)

il y a une bonne raison à cela, c’est que deux cas sont possibles : soit les évènements A et B sont indépendants (ce qui signifie que P(B) ne dépend pas du fait que A soit survenu ou pas), soit ils ne le sont pas (ce qui signifie, au contraire, que P(B) n’est pas la même selon que A est survenu ou pas) !

cette notion d’indépendance des évènements est fondamentale en probabilités ! apportons un éclairage avec un double exemple : la probabilité de tirer deux rois dans un jeu de 32 cartes :

premier cas de figure : tirage avec remise (on tire une première carte au hasard, on la remet dans le paquet, on tire une deuxième carte au hasard)
dans ce cas, il est évident que la probabilité de tirer un roi au deuxième tirage (évènement B) ne dépend pas du fait qu’on ait tiré un roi au premier tirage (évènement A), les deux évènements sont donc indépendants !
dans ce cas, la formule est simple : P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
avec l’exemple, ça donne P(2 rois)=\dfrac{4}{32}\times \dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{64}

deuxième cas de figure : tirage sans remise (on tire une première carte au hasard, puis une deuxième, sans remettre la première dans le paquet)
dans ce cas, tout change, parce que la probabilité de tirer un roi au deuxième tirage dépend du résultat du premier tirage :
– si on a tiré un roi, alors P(B)=\dfrac{3}{31}
– sinon : P(B)=\dfrac{4}{31}

dans le prochain article, nous approfondirons cette notion d’indépendance, et celle (qui en découle) de probabilité conditionnelle !

probabilités 2

la règle de base pour le calcul d’une probabilité est simple et intuitive : la probabilité d’un évènement est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles !

autrement dit, en reprenant l’approche ensembliste, la probabilité d’un évènement A est le rapport entre le nombre d’éléments de A et le nombre d’éléments de \Omega !

P(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}\quad (\,Card(A) est la notation usuelle du nombre d’éléments de A\,)

pour les exemples de l’article précédent, ça donne tout simplement :
P(A)=\dfrac36=\dfrac12   et   P(B)=\dfrac26=\dfrac13

il est évident que P(\overline{A})=1-P(A)
(formule à garder en mémoire pour de futurs exercices : il est parfois plus simple de calculer la probabilité de l’évènement contraire que celle de l’évènement lui-même)

on a souvent besoin de combiner des évènements, soit avec ET, soit avec OU…

« obtenir un nombre pair » ET « obtenir soit 3, soit 6 » correspond à « obtenir 6 »
cet évènement est l’intersection de A et B, notée A\cap B
P(A\cap B)=P(\left\{2, 4, 6\right\}\cap \left\{3, 6\right\})=P(\left\{6\right\})=\dfrac16
(si A\cap B=\varnothing donc si P(A\cap B)=0, les évènements A et B sont dits incompatibles)

« obtenir un nombre pair » OU « obtenir soit 3, soit 6 » correspond à « obtenir soit 2, soit 3, soit 4, soit 6 »
cet évènement est l’union de A et B, notée A\cup B
P(A\cup B)=P(\left\{2, 4, 6\right\}\cup \left\{3, 6\right\})=P(\left\{2, 3, 4, 6\right\})=\dfrac46=\dfrac23

formule importante : P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
(c’est logique d’ôter l’intersection, pour ne pas compter deux fois les possibilités communes aux deux évènements)
vérification avec l’exemple : P(A\cup B)=\dfrac12+\dfrac13-\dfrac16 est bien égal à \dfrac23  !

ça va toujours ?

probabilités 1

nous allons commencer en douceur l’étude des probabilités en précisant le contexte, un peu de vocabulaire, et quelques notations !

calculer une probabilité, c’est évaluer les chances qu’un évènement précis soit le résultat d’une expérience aléatoire, comme « jeter un dé à 6 faces (non pipé) » ! dans cet exemple, un évènement peut être « obtenir un nombre pair », « obtenir soit 3, soit 6 », etc.

on appelle « évènement élémentaire » chaque possibilité unique différente qu’on peut obtenir comme résultat de l’expérience aléatoire (avec l’exemple du dé, les 6 évènements élémentaires sont : « obtenir 1 », « obtenir 2 », … « obtenir 6 »)

une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 : 0 correspond à un évènement impossible, 1 correspond à un évènement certain, 1/2 correspond à un évènement qui a une chance sur deux de se produire, etc. (nous étudierons dans un prochain article les règles de base concrètes du calcul d’une probabilité)

on note traditionnellement \Omega l’ensemble des évènements élémentaires.
avec le dé : \Omega=\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}

un évènement (traditionnellement désigné par une lettre majuscule) est donc un sous-ensemble de \Omega :
– l’évènement A « obtenir un nombre pair » peut donc s’écrire A=\left\{2, 4, 6\right\}
– l’évènement B « obtenir soit 3, soit 6 » correspond à B=\left\{3, 6\right\}

on note \overline{A} l’évènement contraire à A :
dans l’exemple, \overline{A} est donc l’évènement « obtenir un nombre impair » !

intégration par parties

[ ce sera, en principe, le dernier article du chapitre "analyse" ]

l’intégration par parties est une technique assez simple qui permet de trouver facilement une primitive dans certains cas précis : la fonction à intégrer est un produit, et on connaît une primitive d’un des deux termes du produit !

ça repose sur la règle de dérivation d’un produit : (fg)'=f'g+fg'

donc : \displaystyle{\int}(fg)'(x)\mathrm dx=\displaystyle{\int}f'(x)g(x)\mathrm dx+\displaystyle{\int}f(x)g'(x)\mathrm dx

d’où : \displaystyle{\int}f'(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\displaystyle{\int}f(x)g'(x)\mathrm dx

imaginons donc qu’on ait affaire à un fonction z(x)=u(x)v(x) et qu’on connaisse une primitive U de u, et qu’on ne sache pas trouver une primitive de z

d’après ce qui précède : \displaystyle{\int}z(x)\mathrm dx=U(x)v(x)-\displaystyle{\int}U(x)v'(x)\mathrm dx

donc si on peut trouver facilement une primitive de U(x)v'(x), le tour est joué !

exemple :

cherchons une primitive de z(x)=x\ln{x} :

posons u(x)=x ( donc U(x)=\dfrac12x^2 ) et v(x)=\ln{x} ( donc v'(x)=\dfrac1x )

\displaystyle{\int}z(x)\mathrm dx=\dfrac12x^2\ln{x}-\displaystyle{\int}\dfrac12x\mathrm dx=\dfrac12x^2\ln{x}-\dfrac14x^2

et voilà : une primitive de z(x)=x\ln{x} est donc Z(x)=\dfrac12x^2\ln{x}-\dfrac14x^2 !

réfléchir à la suite !

nous approchons petit à petit de la fin du programme d’analyse tel que nous l’avons prévu pour cette rubrique de vulgarisation. la question se pose donc de savoir ce que vous souhaitez pour la suite ! les autres thèmes initialement suggérés étaient la trigonométrie et les probabilités, mais si vous avez d’autres idées, n’hésitez pas à les proposer… (bien sûr, il est possible aussi de continuer à explorer l’analyse, mais ça risque de devenir très vite assez « costaud » donc pas sûr que ça soit une bonne idée dans une optique de vulgarisation, mais c’est à vous de décider)