3. mathématiques

 

présentation

 

recherche op 9

ce nouvel exercice de recherche opérationnelle est tiré d’une situation réelle ! un papetier industriel fabrique des rouleaux de papier (appelées bobines-mères) d’une largeur de 215 cm, qu’il découpe ensuite en rouleaux plus étroits selon les demandes de ses clients… il vient de recevoir la commande suivante :
– 360 rouleaux de 64 cm
– 180 rouleaux de 60 cm
– 180 rouleaux de 35 cm

la question est toute simple : quel modèle permet de déterminer le plan de découpe optimal pour notre papetier ? bon courage !

recherche op 8

notre « pignouf » du jour est un industriel qui fabrique 4 produits chimiques (E, F, G, H) en mélangeant 4 autres produits (A, B, C, D) ! les proportions sont les suivantes :
E : 30% de A, au moins 10% de B, 40% de C, au plus 5% de D
F : au moins 25% de A, au plus 20% de B, 20% de C, au moins 10% de D
G : 20% de A, au moins 15% de B, 40% de C, au plus 20% de D
H : 1/3 de E, 2/3 de G

son approvisionnement maximum est le suivant :
A : 8000 litres à 5,50 €/l
B : 4250 litres à 4,50 €/l
C : 16000 litres à 7,50 €/l
D : 2000 litres à 11,25 €/l

les prix de ventes sont les suivants :
E : 11,00 €/l
F : 15,00 €/l
G : 14,00 €/l
H : 22,00 €/l
en outre, il peut revendre les produits A, B, C, D, avec une plus-value de 0,50 €/l

on considère que le marché est illimité pour tous les produits, et le carnet de commandes actuel est le suivant :
E : 400 litres
F : 800 litres
G : 200 litres

à vous de jouer pour proposer un modèle dont la solution donnera à notre ami la meilleure stratégie achats/production/ventes !

recherche op 7

voici l’exercice de la semaine : le célèbre opérateur Range-O réorganise son centre d’appel pour à la clientèle ! celui-ci est ouvert 24h/24 mais ne prend pas les appels entre minuit et 1h, cet horaire étant réservé aux opérations de mise-à-jour et de maintenance…

il y a 6 équipes de conseillers qui prennent respectivement leur service à 4h, 7h, 11h, 14h, 17h, 21h pour une durée de présence de 7 heures avec une pause d’une heure à mi-parcours : par exemple, l’équipe qui commence à 7h travaille en fait de 7h à 10h et de 11h à 14h !

sur la base des statistiques passées, Range-O estime les effectifs nécessaires, heure par heure, de la façon suivante :

le but du jeu, bien entendu, est de construire le modèle qui permettra d’optimiser la composition des équipes… amusez-vous bien !

recherche op 6

les fêtes de fin d’année approchent, alors pour ce deuxième exercice nous allons logiquement nous pencher sur le cas d’un chocolatier ! voici son problème : on vient de lui commander 3000 assortiments de chocolats d’un kg, qu’on lui achètera 8 € l’unité, composés de 3 sortes de chocolats en respectant les proportions suivantes :
– les chocolats A doivent représenter entre 10% et 20% du poids d’un assortiment
– les chocolats A et B présents dans un assortiment doivent peser 800 g maximum
– les chocolats A et C doivent représenter au moins 50% du poids d’un assortiment
le prix de revient de la fabrication des 3 sortes de chocolats s’établit comme suit :
– A : 4,00 € / kg
– B : 1,45 € / kg
– C : 2,40 € / kg

notre ami chocolatier aimerait savoir quelle quantité de chaque sorte de chocolats il doit produire pour honorer cette commande en faisant le meilleur bénéfice possible. pouvez-vous l’aider ?

recherche op 5

comme promis, voici un premier exercice… nous allons nous intéresser au cas de la société Cirem, qui fabrique deux produits P et Q qui sont vendus (quotidiennement) 42 € et 48 € l’unité à un grossiste qui accepte n’importe quelle quantité. les produits P et Q sont fabriqués à partir de deux uniques matériaux M et N avec les quantités suivantes :
P : 4 kg de M + 3 kg de N
Q : 2 kg de M + 1 kg de N

le transport est à la charge de Cirem, qui a négocié avec un transporteur le contrat suivant :
– un forfait de 4000 € pour toute livraison quotidienne n’excédant pas 2 tonnes
– au-delà, un supplément de 2 € / kg

aujourd’hui, Cirem dispose de 3200 kg de M et 2400 kg de N, et voudrait savoir comment répartir la production du jour entre P et Q de façon à maximiser son chiffre d’affaire, frais de transport déduits !

votre mission consiste à modéliser cette situation :
– expliciter les variables de décision
– définir la fonction objectif
– lister les contraintes

bon courage, et amusez-vous bien !

recherche op 4

le choix des variables de décision ne pose pas de problème, je pense :
– XB = nombre de berceaux à produire
– XT = nombre de tables à langer à produire

la fonction objectif est évidemment le bénéfice réalisé :
– le bénéfice pour un berceau est de 800 – 160 – 350 = 290 €
– le bénéfice pour une table est de 500 – 75 – 250 = 175 €
– il s’agit donc de maximiser 290XB + 175XT

il y a quatre contraintes à respecter :
– tenir compte des matériaux disponibles : XB ≤ 100 et XT ≤ 100
– tenir compte de la main d’œuvre disponible : XB ≤ 30 et XT ≤ 50
– avoir au moins 15900 € sur le compte courant à la fin du mois
– respecter le ratio actif/passif ≥ 2 à la fin du mois, imposé par la banque

première remarque, la première contrainte est redondante : elle sera forcément respectée si la deuxième l’est, donc nous l’abandonnerons pour la suite !

détaillons maintenant la contrainte sur le solde du compte courant :
– solde initial : 20000 €
– rentrées : 13850 € (règlements clients)
– sorties : 1600 € (loyer) + 4850 € (remboursement emprunt) + 350XB + 250XT
   (salaires)
– donc : 20000 + 13850 – 1600 – 4350 – 350XB – 250XT ≥ 15900
   en simplifiant : 350XB + 250XT ≤ 12000

le plus difficile, c’était la contrainte sur le ratio actif/passif en fin de mois !

commençons par l’actif, composé du solde du compte courant, de la valeur des stocks, du montant des comptes clients :
– compte courant :
   20000 + 13850 – 1600 – 4350 – 350XB – 250XT = 27900 – 350XB – 250XT
– stocks :
   (100 x 160) + (100 x 75) + 26500 – 160XB – 75XT = 50000 – 160XB – 75XT
– comptes clients :
   37000 – 13850 + 800B + 500XT = 23150 + 800B + 500XT
l’actif en fin de mois est donc égal à : 101050 + 290XB + 175XT

passons au passif, composé du montant de l’emprunt restant à rembourser et du montant des comptes fournisseurs :
– emprunt : 30000 – 4350
– comptes fournisseurs : 26500
le passif en fin de mois est donc égal à 52150

la contrainte sur le ratio actif/passif est donc :
( 101050 + 290XB + 175XT ) / 52150 ≥ 2
soit, en simplifiant : 290XB + 175XT ≥ 3250

et bien entendu les variables XB et XT doivent être entières !

en langage Lingo, voilà ce que ça donne :

MAX = (290 * XB) + (175 * XT);

XB < = 30; XT <= 50; (350 * XB) + (250 * XT) <= 12000; (290 * XB) + (175 * XT) >= 3250;

@GIN(XB);
@GIN(XT);

et la solution est XB = 30 et XT = 6 pour un bénéfice de 9750 € !