3. mathématiques

 

présentation

 

structures algébriques | 4

dans un ensemble E muni d’une loi \bullet admettant un élément neutre n :
si x \bullet y~=~y \bullet x~=~n alors y est appelé élément symétrique de x, et inversement

dans le cas général, un élément symétrique n’est pas forcément unique ! mais si la loi est associative on peut très facilement démontrer que, dans ce cas, si l’élément symétrique existe alors il est unique… (vous essayez ?)

vous pouvez aussi vous amuser à démontrer que l’élément neutre est son propre inverse !

un monoïde dont tous les éléments ont un symétrique est appelé un groupe.

(\mathbb{Z},+) et (\mathbb{R},+) sont des groupes
(\mathbb{N},+) ne l’est pas

structures algébriques | 3

un élément neutre n d’un ensemble E pour une loi \bullet est un élément qui laisse tous les éléments de E inchangés lorsqu’ils sont composés avec lui :
\forall x\in E,~n\bullet x=x (élément neutre à gauche)
\forall x\in E,~x\bullet n=x (élément neutre à droite)

si un ensemble E a un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors c’est le même et il est unique (faites-moi plaisir, démontrez-le…) et on l’appelle l’élément neutre de E tout court !

en revanche, s’il y a un élément neutre à gauche et pas à droite (ou inversement), il est possible qu’il ne soit pas unique !

une structure algébrique possédant un élément neutre est dite unifère !

un monoïde est un magma associatif et unifère, autrement dit un demi-groupe unifère…

0 est l’élément neutre pour l’addition
1 est l’élément neutre pour la multiplication
0 est élément neutre à droite pour la soustraction, mais il n’existe pas d’élément neutre à gauche
1 est élément neutre à droite pour la division, mais il n’existe pas d’élément neutre à gauche

structures algébriques | 2

les lois de composition interne peuvent présenter certaines caractéristiques qui sont à la base de la définition de structures algébriques un peu plus sophistiquées que le magma… la plus fondamentale de ces caractéristiques est l’associativité !

la loi \bullet est associative dans l’ensemble E si, quel que soit le triplet (x,y,z) d’éléments de E, on a (x\bullet y)\bullet z=x\bullet (y\bullet z)

si la loi d’un magma est associative, alors la structure s’appelle un demi-groupe !

structures algébriques | 1

d’une façon générale, une structure algébrique est un ensemble doté d’une ou plusieurs lois de composition interne !

une loi de composition de interne dans un ensemble E est une opération qui, à un couple quelconque d’éléments de E, associe un (unique) élément de E !

par exemple :
l’addition dans l’ensemble des entiers naturels \mathbb{N}=\{0,~1,~2,~3,~...\} est une loi de composition interne
la soustraction ne l’est pas, parce qu’elle peut donner un résultat négatif, donc qui n’appartient pas à \mathbb{N}
mais elle l’est dans l’ensemble des entiers relatifs \mathbb{Z}=\{...,~-3,~2,~1,~0,~1,~2,~3,~...\}

premier sujet de réflexion : l’addition ne peut pas être une loi de composition interne dans un ensemble de nombres positifs ayant une borne supérieure (autrement dit, un élément plus grand que tous les autres ! pouvez-vous expliquer pourquoi ?

la structure algébrique la plus « basique » est le magma : c’est tout simplement un ensemble E doté d’une loi de composition interne quelconque \bullet (aucun axiome n’est imposé à cette loi) ! Notation : \left(E,\bullet\right)

deux remarques pour terminer ce premier article :
1) à l’avenir, par commodité nous utiliserons « loi » tout court pour désigner une loi de composition interne
2) la plupart du temps, nous donnerons des exemples utilisant des ensembles de nombres, mais il faut garder en mémoire que les définitions et les démonstrations s’appliquent à n’importe quel type d’ensemble !

et maintenant ?

nous avons pas mal exploré la trigonométrie… bien sûr, nous pourrions aller plus loin, avec les sinus et cosinus hyperboliques, ou le lien avec les nombres complexes, etc… mais je crains (et Sandie est totalement d’accord) que ça deviendrait un peu trop compliqué et rébarbatif !

nous vous proposons donc de nous arrêter là pour la trigo, et d’enchaîner sur une présentation des structures algébriques (comme les groupes, les anneaux, les corps, et d’autres moins connues)…

il nous semble que c’est plus abordable, et (peut-être) plus amusant !

trigo | épisode 10

ladies, pomeranian dogs, gentlemen, j’ai l’honneur et l’avantage de vous présenter le théorème d’Al-Kashi (1380 ‒ 1429) !

il établit que dans un triangle quelconque nous avons la relation suivante :

c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}

ou bien, de façon réciproque :

\gamma=\arccos\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)

ça n’a l’air de rien comme ça, mais ce résultat fondamental est à la base des méthodes de repérage et de cartographie par triangulation !

si le triangle est rectangle \left(\gamma=\dfrac{\pi}{2}\right) alors \cos\gamma=0 et on retombe heureusement sur le théorème de Pythagore ! (la belle cohérence des mathématiques…)

je vous invite, bien sûr, à tenter la démonstration de ce théorème…