3. mathématiques

 

présentation

 

probabilités 5

reprenons en douceur… et pour ça faisons le lien entre les probabilités que nous étudions, et les notions de tribu et de mesure !

commençons par la tribu : nous avons vu que, quel que soit l’ensemble E, \mathfrak{P}(E) est une tribu sur E ! transposons ça dans le contexte des probabilités, avec l’ensemble \Omega des évènements élémentaires : \mathfrak{P}(\Omega) est donc une tribu sur \Omega ! autrement dit, en bon français : l’ensemble de tous les évènements est une tribu sur l’ensemble des évènements élémentaires… ensemble, ils constituent donc un espace mesurable !

ce qui nous amène à la mesure : il n’est pas difficile de montrer que la probabilité telle que nous l’avons définie \left(~P(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}~\right) est une mesure ! vérifions :

\forall A \in\mathfrak{P}(\Omega), P(A) \in \left[0; 1\right] donc P(A) \in \left[0; +\infty\right]
– la probabilité d’un évènement impossible est nulle, donc P(\varnothing)=0
– si A et B sont deux évènements incompatibles, P(A\cup B)=P(A)+P(B),
   donc P est bien σ-additive

bravo à Fabienne qui avait vu venir le truc dans son commentaire du 28 février !

tout ce « micmac » (comme dirait l’ami Fabrice) n’est évidemment pas gratuit, il va nous permettre d’introduire une nouvelle notion, fondamentale en probabilités : les variables aléatoires ! donc… à suivre !

mesure

on appelle « espace mesurable » un couple \left(E, A\right)E est un ensemble et A est une tribu sur E; les éléments de A (qui, rappelons-le, sont des parties de E) sont appelés « ensembles mesurables »

\left(E, A\right) étant un espace mesurable, on appelle « mesure » une fonction \mu définie sur A qui vérifie les trois propriétés suivantes :
\forall X \in A,\,\mu\left(X\right) \in \left[0;+\infty\right]
\mu\left(\varnothing\right)=0 (autrement dit, la mesure de l’ensemble vide est nulle)
\mu est σ-additive ! ce terme barbare signifie que la mesure de l’union dénombrable de plusieurs éléments de A (deux à deux disjoints) est égale à la somme des mesures de chacun de ces éléments :
si \forall n \in \mathbb{N},\,X_n \in A alors \mu\Bigl(\,\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n\Bigr)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu\left(X_n\right)

si vous êtes perspicaces, peut-être commencez vous à entrevoir le lien de tout ça avec les probabilités… hmmm ?

axiomatique

en mathématiques, un axiome (également appelé postulat) désigne une proposition qui fait partie de la définition d’un concept, ou des fondements d’une théorie.

l’ensemble des axiomes qui définissent complètement un concept ou une théorie est appelé axiomatique, la seule contrainte étant que les éléments d’une axiomatique ne soient pas contradictoires entre eux.

par exemple, les trois propositions
– A n’est pas vide
– A est stable par complémentarité dans E
– A est stable par union dénombrable
constituent l’axiomatique d’une tribu !

autre exemple célèbre, les cinq postulats d’Euclide qui ont très longtemps constitué l’axiomatique de la géométrie euclidienne ! (c’est à écrire au passé, parce qu’on sait – depuis Hilbert en 1899 – qu’elle était incomplète, mais ceci est un autre sujet que Sandie vous narrera peut-être dans la future rubrique histoire des mathématiques)

donc, par définition, un axiome ne peut pas être démontré !
en revanche, il est souvent nécessaire de le vérifier, ce qui n’est pas la même chose, pour s’assurer qu’on est bien en présence du concept souhaité.

par exemple, si je vous propose une collection de parties d’un ensemble E, et que je vous demande s’il s’agit d’une tribu sur E, vous devez vérifier que les trois axiomes sont satisfaits !

quand on est a priori dans le cadre d’un concept défini par un ensemble d’axiomes, ceux-ci sont supposés être vérifiés, et ils sont les hypothèses de base permettant de démontrer les théorèmes. (à noter : les résultats des théorèmes déjà établis peuvent aussi servir d’hypothèses pour démontrer d’autres théorèmes.)

par exemple, quand je vous demande de démontrer que toute tribu sur E comprend l’ensemble vide et E lui-même, je vous situe a priori dans le contexte d’une tribu, ce qui signifie que les trois axiomes sont vérifiés. la démarche à effectuer consiste donc à les utiliser (tous ou certains d’entre eux) pour démontrer le théorème !

dernière précision de vocabulaire : une proposition qui n’est pas un axiome, et qui n’a pas été démontrée est appelée une conjecture. par exemple, le célèbre soi-disant « théorème » de Fermat était en fait une conjecture, jusqu’à sa démonstration par Andrew Wiles en 1994 (à ce titre, il devrait à mon avis être rebaptisé théorème de Wiles).

tribu

il nous reste plein de choses passionnantes à étudier avec les probabilités, mais pour avancer nous allons avoir besoin de nous intéresser à certains concepts annexes que je vais vous faire découvrir progressivement…

commençons par la notion de « tribu » (synonyme : σ-algèbre) !

la formalisation de ce concept est assez récente (tout début du XX° siècle), et c’est au fil des trente années suivantes qu’il s’est révélé comme un outil très puissant au service d’autres domaines mathématiques (théorie de la mesure, probabilités, etc)

une tribu A sur un ensemble E est un ensemble de parties de E qui vérifie les trois propriétés suivantes :
– A n’est pas vide
– A est stable par complémentarité dans E
– A est stable par union dénombrable

de façon plus formelle :
A\neq\varnothing
\forall X\in A,\:\overline{X}\in A
– si \forall n\in\mathbb{N},\: X_n\in A alors \Bigl(\,\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n\Bigr)\in A

en clair, la dernière condition signifie tout simplement que l’union d’un nombre quelconque d’éléments de A doit appartenir à A !

il y a deux tribus « évidentes » :
A=\{\varnothing,E\}   (tribu dite « grossière »)
A=\mathfrak{P}\left(E\right)   (tribu dite « discrète »)
( je rappelle que \mathfrak{P}\left(E\right) désigne l’ensemble de toutes les parties de E )

probas – exercices 2

avant de passer à la suite, je vous propose un autre petit exercice :
quelle est la probabilité d’avoir un carré dans une main de poker ?
(5 cartes tirées dans un jeu de 52 cartes)

probas – exercices 1

rappel des notations et des formules

comme promis, je « centralise » ici toutes les formules à connaître !

probabilité de l’évènement A : P(A)=\dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}}

probabilité de l’évènement contraire de A : P(\overline{A})=1-P(A)

probabilité de l’évènement A ou B : P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

probabilité de l’évènement A et B :
P(A\cap B)=0 si les évènements A et B sont incompatibles
P(A\cap B)=P(A)\times P(B) si les évènements A et B sont indépendants
P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A) si l’évènement B dépend de A
(où P(B|A) désigne la probabilité (conditionnelle) de B sachant que A s’est produit)

exercices

dans tous les exercices proposés ci-dessous, on effectue un tirage de 2 cartes dans un jeu de 32 cartes standard !

1/ tirage avec remise

1.a/ probabilité de tirer 2 dames
1.b/ probabilité de tirer 2 dames différentes
1.c/ probabilité de tirer au moins une dame
1.d/ probabilité de tirer une seule dame
1.e/ probabilité de tirer au moins une dame et au moins un cœur

2/ tirage sans remise (les questions sont les mêmes)

2.a/ probabilité de tirer 2 dames
2.b/ probabilité de tirer 2 dames différentes
2.c/ probabilité de tirer au moins une dame
2.d/ probabilité de tirer une seule dame
2.e/ probabilité de tirer au moins une dame et au moins un cœur

bon courage !!