3. mathématiques

 

présentation

 

recherche op 3

pour ce deuxième exemple, nous allons nous intéresser à Vincent, un collègue d’Eugène, qui lui s’est spécialisé dans la fabrication de mobilier pour les chambres d’enfant, en particulier des berceaux et des tables à langer, en bois précieux !

le prix de vente d’un berceau est de 800 €, celui d’une table à langer est de 500 €
le coût des matériaux est de 160 € pour un berceau, et de 75 € pour une table
le coût de la main d’œuvre est de 350 € pour un berceau, et de 250 € pour une table

au début du mois la situation de Vincent est la suivante :
– il a en stock les matériaux pour fabriquer 100 berceaux et 100 tables à langer
– les comptes clients se montent à 37000 €
– le solde de son compte courant est de 20000 €
– il lui reste à rembourser 30000 € sur un emprunt bancaire

pendant le mois :
– il payera le loyer de son atelier (1600 €)
– il recevra des règlements de clients pour un montant de 13850 €
– il remboursera une partie de son emprunt (4350 €)
– il recevra une livraison de bois précieux (facture de 26500 € payable à 60 jours)
– il disposera de la main d’œuvre pour fabriquer 30 berceaux et 50 tables à langer
   au maximum

Par ailleurs, Vincent veut pouvoir acheter à la fin du mois une nouvelle machine qu’il payera comptant (15900 €), et son banquier exige (pour maintenir sa ligne de crédit) que son ratio actif/passif soit supérieur ou égal à 2 !

Le but de Vincent est bien sûr de savoir combien de berceaux et combien de tables à langer il doit fabriquer pour maximiser son bénéfice du mois, tout en respectant les diverses contraintes… Dans l’article suivant, nous verrons comment modéliser cette situation !

recherche op 2

en RO, la démarche de modélisation suit toujours le même schéma en trois temps, eh oui c’est une valse !

1) on identifie les « variables de décision » : ce sont, tout simplement, les variables qui donnent la solution du problème quand on connaît leur valeur !

2) on définit la « fonction objectif » : c’est ce qu’on cherche à optimiser (c’est-à-dire, suivant le contexte, maximiser ou minimiser) !

3) on formule les contraintes imposées par le contexte !

quand c’est fait, il suffit de rentrer tout ça dans le logiciel qui va bien, et le tour est joué !

voyons ce que ça donne avec les chaises d’Eugène !

1) ce qu’on veut savoir, c’est combien de chaises il faut produire de chaque modèle, donc les variables de décisions sont :
– Xa : nombre de chaises A à produire
– Xb : nombre de chaises B à produire

2) ce qu’on veut optimiser, c’est le bénéfice, donc la fonction objectif est :
Z = 45Xa + 80Xb (et bien sûr on veut la maximiser)

3) nous avons ici deux catégories de contraintes imposées par le contexte : celles liées à la capacité de production, et celles liées au marché (commandes fermes et marché potentiel) :
– capacité ponçage limitée à 250 h : 1,5Xa + 2Xb ≤ 250
– capacité laquage limitée à 100 h : 0,5Xa + 0,75Xb ≤ 100
– capacité capitonnage limité à 327 h : 2Xa + 3Xb ≤ 327
– commandes fermes à honorer : Xa ≥ 42 et Xb ≥ 53
– limites du marché potentiel : Xa ≤ 100 et Xb ≤ 100
mais il ne faut pas oublier qu’Eugène ne peut vendre que des chaises terminées !
il y a donc deux contraintes supplémentaires qu’il ne fallait pas oublier :
– Xa entier
– Xb entier

dans le logiciel que j’utilise (Lingo), il suffit de rentrer ce qui suit, puis de cliquer sur l’icône « Solve » (résoudre) pour obtenir la solution !

! Fonction objectif à maximiser;
MAX = (45 * XA) + (80 * XB);

! Contraintes liées à la capacité de production;
(1.5 * XA) + (2 * XB) <= 250;
(0.5 * XA) + (0.75 * XB) <= 100;
(2 * XA) + (3 * XB) <= 327;

! Contraintes liées au marché;
XA >= 42;
XB >= 53;
XA <= 100;
XB <= 100;

! Autres contraintes;
@GIN(XA);
@GIN(XB);

recherche op 1

la recherche opérationnelle (RO) trouve son origine dans les travaux du géomètre et mathématicien Gaspard Monge (1746 – 1818), qui fut l’un des pères fondateurs de l’École Polytechnique, mais c’est surtout pendant la seconde guerre mondiale qu’elle trouvera son expression moderne, pour répondre à de complexes questions de logistique !

l’appellation « recherche opérationnelle » directement traduite de l’anglais n’a pas beaucoup de sens en français : il serait plus évocateur et plus pertinent de parler de « techniques d’optimisation sous contraintes » ! parce qu’il s’agit bien d’optimiser un résultat (par exemple minimiser une distance parcourue, maximiser un profit, etc) tout en respectant les contraintes imposées par le contexte…

un exemple valant tous les discours abstraits, voici un petit problème concret qui nous servira de point de départ pour la suite : Eugène est un petit artisan ébéniste qui s’est lancé dans la fabrication en petite série de deux modèles de jolies chaises (appelées A et B) à partir de squelettes existants ! Le processus comprend trois phases : le ponçage (qui prend 1h30 pour la chaise A, et 2h pour la chaise B); puis le laquage (0h30 pour la chaise A, 0h45 pour la chaise B); et enfin le capitonnage (2h pour la chaise A, 3h pour la chaise B). compte tenu du matériel et du personnel dont il dispose, et aussi de ses autres commandes, Eugène a prévu de consacrer au maximum 250h au ponçage, 100h au laquage, 327h au capitonnage. par ailleurs, il a déjà calculé qu’il ferait un joli bénéfice de 45€ pour chaque chaise A, et de 80€ pour chaque chaise B ! il a déjà 42 commandes fermes pour le modèle A et 53 pour le modèle B, mais il estime que le marché potentiel ne dépasse pas 100 unités pour chacun des deux modèles…

notre mission consiste à dire à Eugène le nombre de chaises de chaque modèle qu’il doit produire afin de maximiser son bénéfice ! dans le prochain article, nous verrons comment formaliser mathématiquement cette situation concrète…

variables aléatoires 3

si vous avez suivi les épisodes précédents, vous savez donc maintenant que dans le contexte d’une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{R} la probabilité qu’elle prenne une valeur précise n’est pas calculable, et qu’on ne peut calculer que la probabilité que la valeur appartienne à un intervalle : P(X\in I)… La question est : comment fait-on pour calculer une telle probabilité ?

on part donc de la représentation de la fréquence des valeurs, comme ci-dessous (avec l’exemple de la loi normale) :

la fonction f correspondante est « mise à l’échelle » pour que \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(t)\, \mathrm dt = 1
(cette fonction est appelée « densité » de la variable aléatoire)
si on traduit ça, logiquement, par P(X\in\left]-\infty;\infty\right[)=1 la suite coule de source :

P(X\in I)=\displaystyle\int_{X\in I}^{} f(t)\, \mathrm dt

voilà pourquoi je disais que ça allait nous ramener en terrain connu, avec le calcul intégral !
par exemple, la densité de la loi normale centrée réduite est : f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^\displaystyle{\frac12t^2}

ceci termine le chapitre consacré aux probabilités, et comme toujours vos questions sont les bienvenues ! il y a quelque temps, nous vous avons proposé d’enchaîner les cours avec la recherche opérationnelle, êtes-vous toujours d’accord ?

variables aléatoires 2

la notion de variable aléatoire prend tout son sens et tout son intérêt quand l’espace probabilisé ne repose pas sur un ensemble fini d’évènements élémentaires, mais sur un ensemble continu, comme typiquement l’ensemble \mathbb{R} des nombres réels…

les évènements élémentaires sont alors en nombre infini, donc il est évident qu’on ne peut plus utiliser le calcul des probabilités que nous avons pratiqué jusqu’ici !

dans ce contexte, les évènements « utilisables » sont des intervalles (ou des unions d’intervalles) de \mathbb{R} pour lesquels on ne peut pas utiliser la notion de cardinalité !

une variable aléatoire est donc maintenant nécessaire pour calculer une probabilité, puisqu’on ne peut plus se reposer sur les évènements élémentaires : nous passons de la probabilité que la variable aléatoire prenne une certaine valeur – P(X=a) – à la probabilité qu’elle appartienne à un intervalle I : P(X\in I)

et vous allez voir que ça va nous ramener en terrain connu !

variables aléatoires 1

la notion de variable aléatoire est née avec la théorie des jeux de hasard, et plus précisément avec la nécessité d’associer un gain (ou une perte) au résultat d’une expérience aléatoire !

pour définir une variable aléatoire, nous avons besoin d’un espace probabilisé (\Omega, \mathfrak{P}(\Omega), P) et d’un espace mesurable quelconque (E,A) !

on appelle variable aléatoire de \Omega sur E toute fonction mesurable X de \Omega sur E
la fonction X est mesurable si   \forall B \in A, ~ X^{-1}(B) \in \mathfrak{P}(\Omega)

cette condition de mesurabilité sur la fonction X assure que tout élément de la tribu A peut être associé à une probabilité, ce qui est essentiel pour la suite !

je m’attends maintenant à une avalanche de questions…