3. mathématiques

 

présentation

 

trigo | épisode 4

nous en savons déjà assez pour tirer quelques conclusions fondamentales !

\forall\alpha\in\mathbb{R}, -1\leqslant\sin\alpha\leqslant1 et -1\leqslant\cos\alpha\leqslant1
c’est évident d’après la définition utilisant le cercle; on peut aussi le démontrer facilement à partir de la relation \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

si 0\leqslant\alpha\leqslant\dfrac{\pi}{2} alors \sin\alpha\geqslant0 et \cos\alpha\geqslant0
si \dfrac{\pi}{2}\leqslant\alpha\leqslant\pi alors \sin\alpha\geqslant0 et \cos\alpha\leqslant0
si \pi\leqslant\alpha\leqslant\dfrac{3\pi}{2} alors \sin\alpha\leqslant0 et \cos\alpha\leqslant0
si \dfrac{3\pi}{2}\leqslant\alpha\leqslant2\pi alors \sin\alpha\leqslant0 et \cos\alpha\geqslant0

quelques angles remarquables :

\sin0=\sin2\pi=0\qquad\cos0=\cos2\pi=1      (0 ou 360°)

\sin\dfrac{\pi}{2}=1\qquad\cos\dfrac{\pi}{2}=0      (angle droit, 90°)

\sin\pi=0\qquad\cos\pi=-1      (demi-tour, 180°)

\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1\qquad\cos\dfrac{3\pi}{2}=0      (3/4 de tour, 270%)

périodicité :

il est évident que si ajoute un ou plusieurs tours (dans un sens ou dans l’autre) à un angle quelconque, on « retombe au même endroit », donc avec le même sinus et le même cosinus, ce qui peut se formuler ainsi :

\forall\alpha\in\mathbb{R},~\forall k\in\mathbb{Z},~\sin\alpha+2k\pi=\sin\alpha et\cos\alpha+2k\pi=\cos\alpha

les fonctions sinus et cosinus sont donc des fonctions périodiques de période 2\pi !

trigo | épisode 3

en plus d’être malaisée à retenir, la définition du sinus et du cosinus à partir du triangle rectangle est limitée, parce qu’elle ne s’applique évidemment qu’à des angles compris entre 0 et \dfrac{\pi}{2} !

nous allons découvrir une définition plus pratique, et surtout plus générale… la construction est simple : nous avons deux axes perpendiculaires, et un cercle de rayon 1 centré sur l’intersection de ces deux axes !

les angles sont construits en tournant sur le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, à partir de l’axe horizontal :

le sinus de l’angle est la coordonnée verticale (ordonnée) du point correspondant sur le cercle : \sin\alpha=OB'

le cosinus est la coordonnée horizontale (abscisse) du point : \cos\alpha=OA

pour les angles entre 0 et \dfrac{\pi}{2} (comme dans l’exemple ci-dessus) cette définition coïncide avec celle de l’épisode 1, heureusement ! si on considère le triangle rectangle OAB, l’épisode 1 nous dit que \sin\alpha=\dfrac{AB}{OB} or AB=OB' et OB=1
donc on a bien \sin\alpha=OB'
pour le cosinus, ça donne : \cos\alpha=\dfrac{OA}{OB}=OA

 

l’intérêt de cette nouvelle définition, c’est qu’elle s’applique à tous les angles, pas seulement à ceux compris entre 0 et \dfrac{\pi}{2} ! Exemple :

\sin\beta=OD'

\cos\beta=OC   (noter que ce cosinus est négatif)

des questions ?

trigo | exercice 1

avant de passer à la suite, je vous propose un petit exercice très facile !

pouvez-vous établir une formule générale pour calculer la surface d’un triangle quelconque, sans utiliser une hauteur mais plutôt une fonction trigonométrique ?
(je vous invite à utiliser dans vos calculs les notations des graphiques ci-dessous)


trigo | épisode 2

bien que limitée, la définition historique du sinus présentée dans l’épisode 1 permet quelques résultats intéressants avec un triangle quelconque en utilisant les hauteurs (je rappelle qu’une hauteur est le segment qui relie un sommet au côté opposé en formant un angle droit, comme CH et AK dans les graphiques ci-dessous)

l’utilisation d’une hauteur permet de découper n’importe quel triangle en 2 triangles rectangles, ce qui nous permet d’utiliser la définition du sinus de l’épisode 1 :

\sin\alpha=\dfrac{h}{b}\qquad\sin\beta=\dfrac{h}{a}   d’où :   h=b\times\sin\alpha=a\times\sin\beta
en divisant par a\times b on obtient :   \dfrac{\sin\alpha}{a}=\dfrac{\sin\beta}{b}\quad (1)

\sin\beta=\dfrac{k}{c}\qquad\sin\gamma=\dfrac{k}{b}   d’où :   k=c\times\sin\beta=b\times\sin\gamma
en divisant par b\times c on obtient :   \dfrac{\sin\beta}{b}=\dfrac{\sin\gamma}{c}\quad (2)

en fusionnant les égalités (1) et (2) on obtient ce qu’on appelle la « loi des sinus » :

\dfrac{\sin\alpha}{a}=\dfrac{\sin\beta}{b}=\dfrac{\sin\gamma}{c}

autrement dit : dans un triangle quelconque, le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est une constante !

trigo | épisode 1

au commencement était le triangle rectangle ! en effet, la base historique de la trigonométrie est la définition du sinus, du cosinus, et de la tangente d’un angle sous la forme de rapports entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle :

\sin\alpha=\dfrac{\mathsf{c\hat{o}t\acute{e}~oppos\acute{e}}}{\mathsf{hypoth\acute{e}nuse}}=\dfrac{a}{b}\qquad\qquad\cos\alpha=\dfrac{\mathsf{c\hat{o}t\acute{e}~adjacent}}{\mathsf{hypoth\acute{e}nuse}}=\dfrac{c}{b}

\tan\alpha=\dfrac{\mathsf{c\hat{o}t\acute{e}~oppos\acute{e}}}{\mathsf{c\hat{o}t\acute{e}~adjacent}}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

ces définitions permettent, via le théorème de Pythagore, d’établir une des formules fondamentales de la trigonométrie :

théorème de Pythagore :   a^2+c^2=b^2

on divise tout par b^2 :   \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{c^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{b^2}   d’où :   \left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\left(\dfrac{c}{b}\right)^2=1

finalement :   \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

je pense que ce premier épisode ne va pas peser trop lourdement sur votre budget aspirine !

trigo | introduction

la trigonométrie peut être définie comme le domaine mathématique qui traite des relations entre les angles et les distances dans les triangles et les cercles.

cette branche des mathématiques est une des plus anciennes, puisqu’on a trouvé des traces de trigonométrie rudimentaire remontant à plus de 4000 ans.

on considère généralement que la trigonométrie moderne est fondée sur le traité « Trigonometria » (1595) du mathématicien allemand Pitiscus, qui a donné son nom à la discipline.

avant de rentrer dans le vif du sujet, une petite piqûre de rappel sur la mesure des angles… il existe trois unités principales de mesure d’un angle :

le degré : dans cette unité, un tour complet correspond à 360°, donc un angle droit à 90° ! cette unité est, comme la mesure usuelle du temps, de type sexagésimal : une minute angulaire correspond à 1/60ème de degré, une seconde angulaire à 1/60ème de minute…

le grade : dans cette unité, un tour complet correspond à 400 gr, donc un angle droit à 100 gr.

le radian : dans cette unité, un tour complet correspond à 2π, donc un angle droit à π/2.

pour des raisons sur lesquelles nous reviendrons, c’est le radian qui prévaut en trigonométrie mathématique, c’est donc la seule unité que nous utiliserons dans cette initiation !

une chose à ne pas perdre de vue : un angle est orienté ! la mesure d’un angle est positive si « on tourne » dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, négative dans le cas contraire…