3. mathématiques

 

présentation

 

trigo | épisode 9

quelques formules fondamentales (dont nous zapperons la démonstration, pas hyper-difficile, mais fastidieuse) :

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}

ces formules étant considérées acquises, il en découle une cascade d’autres résultats, que vous allez vous faire un plaisir d’établir (eh y a pas de raison que je sois la seule à bosser, non mais…)

\sin(a-b)=~?~~~~~~~~~\cos(a-b)=~?~~~~~~~~~\tan(a-b)=~?

\sin2a=~?~~~~~~~~~\cos2a=~?~~~~~~~~~\tan2a=~?

\sin^2a=~?~~~~~~~~~\cos^2a=~?

\sin a\sin b=~?~~~~~~~~~\cos a\cos b=~?~~~~~~~~~\sin a\cos b=~?

pas de panique… c’est vraiment facile !

trigo | épisode 8

comme ça peut toujours servir, je vous donne les dérivées des principales fonctions trigonométriques :

\sin'\alpha=\cos\alpha~~~~~~\cos'\alpha=-\sin\alpha~~~~~~\tan'\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha

\arcsin'x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~~~~~~\arccos'x=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~~~~~~\arctan'x=\dfrac{1}{1+x^2}

je vous propose deux exercices :
● trouver les primitives des fonctions sin et cos
   (difficulté : very too easy)
● trouver une primitive de la fonction arctan
   (difficulté : medium ‒ indice : pensez à l’intégration par parties)

trigo | épisode 7

dans ce 7ème épisode, nous allons nous intéresser aux fonctions réciproques des fonctions sin, cos et tan ! ces fonctions sont appelées fonctions « arcs » et notées arcsin, arccos et arctan. je vous fais la version empirique (la plus simple) :

par définition d’une fonction réciproque :
\alpha = \arcsin\left(x\right) signifie que \sin\alpha=x
\alpha = \arccos\left(x\right) signifie que \cos\alpha=x

x étant un sinus ou un cosinus, il en résulte que les fonctions arcsin et arccos sont définies sur l’intervalle \left[-1;+1\right]

les représentations graphiques de l’épisode 6 montrent qu’on couvre cette plage de sinus (de façon croissante) avec un angle -\dfrac{\pi}{2}\leqslant\alpha\leqslant+\dfrac{\pi}{2} et cette plage de cosinus
(de façon décroissante) avec un angle 0\leqslant\alpha\leqslant\pi

en gardant ces seules portions des courbes, et en inversant les axes (réciprocité oblige…) on obtient directement les fonctions arcsin et arccos :

même principe pour la fonction tan :
\alpha = \arctan\left(x\right) signifie que \tan\alpha=x

x étant une tangente, il en résulte que la fonction arctan est définie sur l’intervalle \left]-\infty;+\infty\right[

la représentation graphique de l’épisode 6 montre qu’on couvre cette plage de tangente (de façon croissante) avec un angle -\dfrac{\pi}{2}\leqslant\alpha\leqslant+\dfrac{\pi}{2}

en gardant cette seule portion de la courbe, et en inversant les axes (réciprocité oblige…) on obtient directement la fonctions arctan :

(en termes plus mathématiques, l’inversion des axes correspond à la symétrie axiale par rapport à la première diagonale, autrement dit la droite d’équation y=x)

[ je rappelle que les très jolis dessins de la rubrique mathématique sont tous réalisés avec l’excellentissime logiciel GeoGebra, qui est disponible gratuitement sur tous les supports (Windows, Mac OS, iOS, Android, Linux), et utilisable avec grand bonheur de l’école primaire jusqu’à l’enseignement supérieur ! ]

trigo | épisode 6

intéressons-nous un peu à la « tronche » (représentation graphique) des fonctions trigonométriques !
celle des fonctions sinus et cosinus est bien connue, et très utilisée en physique, parce qu’elle mathématise plutôt bien la plupart des phénomènes ondulatoires
(son, lumière, mécanique des fluides, etc)

la simple observation graphique nous permet quelques conclusions intéressantes :
● la fonction sinus est impaire : \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ \sin(-\alpha) = - \sin\alpha
● la fonction cosinus est paire : \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ \cos(-\alpha) = \cos\alpha
● confirmation que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2\pi
● les fonctions sinus et cosinus sont décalées de \dfrac{\pi}{2} ~ : ~ \cos\alpha = \sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)

la fonction tangente est un peu plus bizarre !
toujours par simple observation graphique, nous pouvons déduire que :
● la fonction tangente est impaire : \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ \tan(-\alpha) = - \tan\alpha
● la fonction tangente n’est pas définie pour \alpha=k\dfrac{\pi}{2} (k étant un entier impair)
   (question indiscrète, mais facile : pouvez-vous l’expliquer ?)
● quand \alpha=k\dfrac{\pi}{2} (k entier impair), la fonction tangente a une asymptote verticale
   (autre question indiscrète : pouvez-vous le démontrer analytiquement ?)
● la fonction tangente est périodique, de période \pi
   (vous pouvez vous amuser à essayer de le démontrer, ce n’est pas difficile)

trigo | exercice 2

votre mission (pas très difficile) consiste à établir des formules de conversion entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires d’un point ! bon courage…

trigo | épisode 5

la trigonométrie nous permet d’envisager un nouveau système de repérage spatial !

dans le système cartésien bien connu, un point est repéré par sa position relative à deux axes, comme le point P ci-dessous, dont les coordonnées sont (6 ; 4) :

mais un point peut aussi repéré par l’angle qu’il crée par rapport à un axe doté d’une origine, et sa distance par rapport à cette origine…
on appelle ça « coordonnées polaires » !

voilà ce que ça donne pour le même point P :


les coordonnées polaires du point P sont donc (0.59 ; 7.21)