3. mathématiques

présentation

06 déc 2015 4 Comments

structures algébriques | 9

apprivoisons maintenant ces délicates créatures que sont les isomorphismes !

étant données deux structures algébriques $(E,\bullet)$ et $(F,\star)$ , un isomorphisme de $E$ sur $F$ est une relation (appelons-la $f$ par exemple) de $E$ vers $F$ qui respecte les trois conditions suivantes :
(1) $\forall x\in E,~f(x)$ existe dans $F$ et est unique
(2) $\forall x\in F,~f^{-1}(x)$ existe dans $E$ et est unique
(3) $\forall (x,y)\in E^2,~f(x\bullet y)=f(x)\star f(y)$

pour les connaisseurs, les conditions (1) et (2) sont équivalentes à dire que $f$ est une bijection de $E$ sur $F$ ! conséquence immédiate : $E$ et $F$ doivent avoir le même nombre d’éléments, ou plus généralement la même cardinalité (la notion de « nombre d’éléments » n’ayant pas beaucoup de sens pour les ensembles infinis) !

autre remarque : si $f$ est un isomorphisme de $E$ sur $F$ , alors la réciproque $f^{-1}$ est un isomorphisme de $F$ sur $E$ !

la troisième condition a une conséquence très intéressante : elle « transporte » toutes les caractéristiques d’une structure algébrique sur l’autre ! par exemple :
si $(E,\bullet)$ est un groupe abélien, et $f$ un isomorphisme de $E$ sur $F$ , alors $(F,\star)$ est aussi un groupe abélien ! (l’existence de l’isomorphisme suffit à le démontrer)

par Juju dans initiation maths

30 nov 2015 15 Comments

structures algébriques | 8

nous allons maintenant explorer une famille d’ensembles particulièrement intéressants : les ensembles-quotients $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ! (je sais que vous attendiez ce moment avec impatience…)

je vais essayer d’être claire dans la définition de ces merveilles…
pour un entier $n$ donné, imaginons l’ensemble des nombres tels que le reste de leur division euclidienne par $n$ soit égal à $X$ , et appelons-le $\overline{X}$ (c’est la notation usuelle)

par exemple, si $n=3$ , nous avons :

$\overline{0}=\{...,~-6,~-3,~0,~3,~6,~...\}$

$\overline{1}=\{...,~-5,~-2,~1,~4,~7,~...\}$

$\overline{2}=\{...,~-7,~-4,~-1,~2,~5,~...\}$

il est évident (?) que ça ne va pas au-delà, puisque le reste d’une division euclidienne par $3$ ne peut pas être supérieur à $2$ (arithmétique de CM2 !)

dans ce cas, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{\overline{0},~\overline{1},~\overline{2}\}$

en généralisant : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},~\overline{1},...~,\overline{n-1}\}$

ajoutons à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ une loi $\bullet$ définie comme suit : $\overline{X}\bullet\overline{Y}=\overline{X+Y}$

à vous de jouer : que pensez-vous de la structure $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\bullet)$ ?

par Juju dans initiation maths

27 nov 2015 7 Comments

structures algébriques | 7

dans un groupe $(E,\bullet)$ un élément $g$ est appelé générateur si tout élément de $E$ peut être construit en appliquant (autant de fois que nécessaire) la loi $\bullet$ à $g$ et/ou son symétrique !

par exemple, $1$ (dont le symétrique est $-1$ ) est générateur pour le groupe $(\mathbb{Z},+)$ :

$-3=(-1)+(-1)+(-1)$
$-2=(-1)+(-1)$
$-1=1+(-1)+(-1)$
$0=1+(-1)$
$1=1+1+(-1)$
$2=1+1$
$3=1+1+1$

(c’est facile de généraliser ‒ par récurrence ‒ à n’importe quel élément de $\mathbb{Z}$ )

un groupe qui a un élément générateur est dit cyclique.

par Juju dans initiation maths

26 nov 2015 7 Comments

structures algébriques | lexique

– abélien :
    synonyme de commutatif
– absorbant :
    un élément $a$ est absorbant si $\forall x\in E,~a\bullet x~=~x\bullet a~=~a$
– associativité :
    la loi $\bullet$ est associative si $\forall (x,y,z)\in E^3,~x\bullet (y\bullet z)~=~(x\bullet y)\bullet z$
– commutativité :
    la loi $\bullet$ est commutative si $\forall (x,y)\in E^2,~x\bullet y~=~y\bullet x$
– cyclique :
    un groupe cyclique est un groupe qui a un élément générateur
– demi-groupe :
    un demi-groupe est un magma dont la loi est associative
– générateur :
    dans un groupe $(E,\bullet)$ un élément $g$ est générateur si tout élément de $E$ peut être
    construit en appliquant (autant de fois que nécessaire) la loi $\bullet$ à $g$ et/ou son
    symétrique
– groupe :
    un groupe est un monoïde dont tous les éléments ont un symétrique
– interne :
    la loi $\bullet$ est interne dans $E$ si $\forall (x,y)\in E^2,~(x\bullet y\in E)\land (y\bullet x\in E)$
– inverse :
    synonyme de symétrique
– magma :
    un magma est un ensemble $E$ doté d’une loi $\bullet$ interne dans $E$
– monoïde :
    un monoïde est un magma associatif et unifère
– neutre :
    un élément $n$ est neutre si $\forall x\in E,~n\bullet x~=~x\bullet n~=~x$
– régulier :
    un monoïde est régulier si :
     $\forall (x,y,z) \in E^3~,~(x \bullet y~=~x \bullet z) \Longrightarrow (y~=~z)$
     $\forall (x,y,z) \in E^3~,~(y \bullet x~=~z \bullet x) \Longrightarrow (y~=~z)$
– simplifiable :
    synonyme de régulier
– symétrique :
     $n$ étant un élément neutre, $y$ est le symétrique de $x$ si $x \bullet y~=~y \bullet x~=~n$
– unifère :
    une structure algébrique est unifère si elle a un élément neutre

par Juju dans initiation maths

20 nov 2015 7 Comments

structures algébriques | 6

un élément $a$ tel que $\forall x\in E,~a\bullet x~=~x\bullet a~=~a$ est appelé élément absorbant ! (s’il existe, il est unique)
par exemple, $0$ est élément absorbant pour la multiplication…