initiation maths

structures algébriques | 9

apprivoisons maintenant ces délicates créatures que sont les isomorphismes !

étant données deux structures algébriques (E,\bullet) et (F,\star), un isomorphisme de E sur F est une relation (appelons-la f par exemple) de E vers F qui respecte les trois conditions suivantes :
(1) \forall x\in E,~f(x) existe dans F et est unique
(2) \forall x\in F,~f^{-1}(x) existe dans E et est unique
(3) \forall (x,y)\in E^2,~f(x\bullet y)=f(x)\star f(y)

pour les connaisseurs, les conditions (1) et (2) sont équivalentes à dire que f est une bijection de E sur F ! conséquence immédiate : E et F doivent avoir le même nombre d’éléments, ou plus généralement la même cardinalité (la notion de « nombre d’éléments » n’ayant pas beaucoup de sens pour les ensembles infinis) !

autre remarque : si f est un isomorphisme de E sur F, alors la réciproque f^{-1} est un isomorphisme de F sur E !

la troisième condition a une conséquence très intéressante : elle « transporte » toutes les caractéristiques d’une structure algébrique sur l’autre ! par exemple :
si (E,\bullet) est un groupe abélien, et f un isomorphisme de E sur F, alors (F,\star) est aussi un groupe abélien ! (l’existence de l’isomorphisme suffit à le démontrer)

structures algébriques | 8

nous allons maintenant explorer une famille d’ensembles particulièrement intéressants : les ensembles-quotients \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ! (je sais que vous attendiez ce moment avec impatience…)

je vais essayer d’être claire dans la définition de ces merveilles…
pour un entier n donné, imaginons l’ensemble des nombres tels que le reste de leur division euclidienne par n soit égal à X, et appelons-le \overline{X} (c’est la notation usuelle)

par exemple, si n=3, nous avons :

\overline{0}=\{...,~-6,~-3,~0,~3,~6,~...\}

\overline{1}=\{...,~-5,~-2,~1,~4,~7,~...\}

\overline{2}=\{...,~-7,~-4,~-1,~2,~5,~...\}

il est évident (?) que ça ne va pas au-delà, puisque le reste d’une division euclidienne par 3 ne peut pas être supérieur à 2 (arithmétique de CM2 !)

dans ce cas, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{\overline{0},~\overline{1},~\overline{2}\}

en généralisant : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},~\overline{1},...~,\overline{n-1}\}

ajoutons à \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} une loi \bullet définie comme suit : \overline{X}\bullet\overline{Y}=\overline{X+Y}

à vous de jouer : que pensez-vous de la structure (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\bullet) ?

structures algébriques | 7

dans un groupe (E,\bullet) un élément g est appelé générateur si tout élément de E peut être construit en appliquant (autant de fois que nécessaire) la loi \bullet à g et/ou son symétrique !

par exemple, 1 (dont le symétrique est -1) est générateur pour le groupe (\mathbb{Z},+) :

-3=(-1)+(-1)+(-1)
-2=(-1)+(-1)
-1=1+(-1)+(-1)
0=1+(-1)
1=1+1+(-1)
2=1+1
3=1+1+1

(c’est facile de généraliser ‒ par récurrence ‒ à n’importe quel élément de \mathbb{Z})

un groupe qui a un élément générateur est dit cyclique.

structures algébriques | lexique

– abélien :
    synonyme de commutatif
– absorbant :
    un élément a est absorbant si \forall x\in E,~a\bullet x~=~x\bullet a~=~a
– associativité :
    la loi \bullet est associative si \forall (x,y,z)\in E^3,~x\bullet (y\bullet z)~=~(x\bullet y)\bullet z
– commutativité :
    la loi \bullet est commutative si \forall (x,y)\in E^2,~x\bullet y~=~y\bullet x
– cyclique :
    un groupe cyclique est un groupe qui a un élément générateur
– demi-groupe :
    un demi-groupe est un magma dont la loi est associative
– générateur :
    dans un groupe (E,\bullet) un élément g est générateur si tout élément de E peut être
    construit en appliquant (autant de fois que nécessaire) la loi \bullet à g et/ou son
    symétrique
– groupe :
    un groupe est un monoïde dont tous les éléments ont un symétrique
– interne :
    la loi \bullet est interne dans E si \forall (x,y)\in E^2,~(x\bullet y\in E)\land (y\bullet x\in E)
– inverse :
    synonyme de symétrique
– magma :
    un magma est un ensemble E doté d’une loi \bullet interne dans E
– monoïde :
    un monoïde est un magma associatif et unifère
– neutre :
    un élément n est neutre si \forall x\in E,~n\bullet x~=~x\bullet n~=~x
– régulier :
    un monoïde est régulier si :
    \forall (x,y,z) \in E^3~,~(x \bullet y~=~x \bullet z) \Longrightarrow (y~=~z)
    \forall (x,y,z) \in E^3~,~(y \bullet x~=~z \bullet x) \Longrightarrow (y~=~z)
– simplifiable :
    synonyme de régulier
– symétrique :
    n étant un élément neutre, y est le symétrique de x si x \bullet y~=~y \bullet x~=~n
– unifère :
    une structure algébrique est unifère si elle a un élément neutre

structures algébriques | 6

un élément a tel que \forall x\in E,~a\bullet x~=~x\bullet a~=~a est appelé élément absorbant ! (s’il existe, il est unique)
par exemple, 0 est élément absorbant pour la multiplication…

à noter : un monoïde (E,\bullet) ayant un élément absorbant n’est pas régulier !

structures algébriques | 5

la loi \bullet dans l’ensemble E est dite commutative si  \forall (x,y) \in E^2,~x\bullet y~=~y\bullet x

un groupe dont la loi est commutative est appelé groupe commutatif (quelle surprise !) ou groupe abélien (en référence à Niels Henrik Abel)

Exemples : (\mathbb{Z},+), (\mathbb{R},+), (\mathbb{R}^*,\times) sont des groupes abéliens !