06 déc 2015 4 Comments

structures algébriques | 9

apprivoisons maintenant ces délicates créatures que sont les isomorphismes !

étant données deux structures algébriques (E,\bullet) et (F,\star), un isomorphisme de E sur F est une relation (appelons-la f par exemple) de E vers F qui respecte les trois conditions suivantes :
(1) \forall x\in E,~f(x) existe dans F et est unique
(2) \forall x\in F,~f^{-1}(x) existe dans E et est unique
(3) \forall (x,y)\in E^2,~f(x\bullet y)=f(x)\star f(y)

pour les connaisseurs, les conditions (1) et (2) sont équivalentes à dire que f est une bijection de E sur F ! conséquence immédiate : E et F doivent avoir le même nombre d’éléments, ou plus généralement la même cardinalité (la notion de « nombre d’éléments » n’ayant pas beaucoup de sens pour les ensembles infinis) !

autre remarque : si f est un isomorphisme de E sur F, alors la réciproque f^{-1} est un isomorphisme de F sur E !

la troisième condition a une conséquence très intéressante : elle « transporte » toutes les caractéristiques d’une structure algébrique sur l’autre ! par exemple :
si (E,\bullet) est un groupe abélien, et f un isomorphisme de E sur F, alors (F,\star) est aussi un groupe abélien ! (l’existence de l’isomorphisme suffit à le démontrer)

par Juju dans initiation maths