30 nov 2015 15 Comments

structures algébriques | 8

nous allons maintenant explorer une famille d’ensembles particulièrement intéressants : les ensembles-quotients $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ! (je sais que vous attendiez ce moment avec impatience…)

je vais essayer d’être claire dans la définition de ces merveilles…
pour un entier $n$ donné, imaginons l’ensemble des nombres tels que le reste de leur division euclidienne par $n$ soit égal à $X$ , et appelons-le $\overline{X}$ (c’est la notation usuelle)

par exemple, si $n=3$ , nous avons :

$\overline{0}=\{...,~-6,~-3,~0,~3,~6,~...\}$

$\overline{1}=\{...,~-5,~-2,~1,~4,~7,~...\}$

$\overline{2}=\{...,~-7,~-4,~-1,~2,~5,~...\}$

il est évident (?) que ça ne va pas au-delà, puisque le reste d’une division euclidienne par $3$ ne peut pas être supérieur à $2$ (arithmétique de CM2 !)

dans ce cas, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{\overline{0},~\overline{1},~\overline{2}\}$

en généralisant : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},~\overline{1},...~,\overline{n-1}\}$

ajoutons à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ une loi $\bullet$ définie comme suit : $\overline{X}\bullet\overline{Y}=\overline{X+Y}$

à vous de jouer : que pensez-vous de la structure $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\bullet)$ ?

par Juju dans initiation maths

15 commentaires

Juju
le 30 novembre 2015 à 10h42

question subsidiaire : que pensez-vous de $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$ ?

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Fabrice
le 1 décembre 2015 à 6h35

Je vais déjà tenter de répondre à la question subsidiaire

Z/0Z signifirait que l’on divise par 0, en France cela te conduit en prison pour viol agravé de l’arithmétique euclidienne.

Pour l’étude de la structure, je suppose qu’il faut voir avec les mots du lexique si ça colle ou si c’est comme le riz oncle ben’s benz benz …

Je vais bûcher ça, réponse possible demain si mon cerveau veut bien sortir de la pââââmaison devant tant de merveilles et se remettre à fonctionner

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Fabrice
le 2 décembre 2015 à 6h40

J’avoue que c’est pas si evident de se représenter cette p.t..n heu cette très jolie structure

Il semblerait (mais l’enquête est en cours .. de math) que 0 soit l’élément absorbant et des témoins affirment que le b.rd.el heu le « monoide » si monoide il y a (trop dur a ce niveau de l’enquête à démontrer sauf peut-être pour notre envoyé spécial au soleil) il serait intuitivement régulier car X béret . Y béret = Y béret . X béret

Nous attendons dans les toutes prochaines heures les informations de nos envoyées en Malaisie pour infirmer ou démentir les présentes informations

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Juju
le 2 décembre 2015 à 16h22

euh… bon, je vais essayer de remettre tout ça sur les bons rails !

je commence par reformuler la définition de $\overline{X}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : on peut voir ça comme l’ensemble de tous les nombres $x$ de la forme $x=nq+X$ (où $q$ est un entier relatif)

si on reprend l’exemple de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ :
$\overline{0}$ est l’ensemble de tous les nombres $x$ de la forme $x=3q+0=3q$
$\overline{1}$ est l’ensemble de tous les nombres $x$ de la forme $x=3q+1$
$\overline{2}$ est l’ensemble de tous les nombres $x$ de la forme $x=3q+2$

$\overline{3}$ serait donc l’ensemble de tous les nombres $x$ de la forme $x=3q+3$ mais comme il se trouve que $3q+3=3(q+1)$ on retombe sur $\overline{0}$ !

allons y en douceur, en restant sur cet exemple ! si je vous affirme que $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\bullet)$ est un groupe abélien cyclique, me donnez-vous raison ?

concernant $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$ : la division par $0$ n’est pas interdite dans le cas spécial de la division euclidienne (qui donne un quotient et un reste entier) puisque tout entier $x$ peut s’écrire $x=0q+x$ ! (autrement dit tout entier est le reste de sa division euclidienne par $0$ …)

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François
le 2 décembre 2015 à 23h48

Malgré cette mise au point remarquable, je te fais une confiance aveugle pour rentrer dans le peloton des abéliens cyclistes.

Je ne vois pas du tout comment tortiller la moindre démonstration malgré le temps que j’y ai passé…

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Fabrice
le 3 décembre 2015 à 6h35

Si l’on part du principe que multiplication et addition sont abéliennes, génétiquement, leur enfant : nq+n le sera aussi.
Pour la cyclicité, il faut voir avec le géniteur générateur
Juju nous a pondu un nq+n=n(q+1), faudrait-il y voir ici une trace génératrice de
cyclicité ????
Le punch servi aux étals du marché peut-il aider à démêler les fils de cette discution passionnante ?

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Juju
le 3 décembre 2015 à 16h34

c’est parti pour une démonstration pas à pas !

la « table » de la loi $\bullet$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est la suivante :

$\begin{array}{1|2|3|4} \rm \bullet & \rm \overline{0} & \rm \overline{1} & \rm \overline{2} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} \\ \hline \overline{1} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{0} \\ \hline \overline{2} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{1} \end{array}$

toutes les combinaisons possibles appartiennent à $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ , donc la loi $\bullet$ est interne, donc la structure $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\bullet)$ est un magma !

$\overline{X}\bullet (\overline{Y}\bullet\overline{Z})=\overline{X}\bullet\overline{Y+Z}=\overline{X+(Y+Z)}$
$(\overline{X}\bullet\overline{Y})\bullet\overline{Z}=\overline{X+Y}\bullet\overline{Z}=\overline{(X+Y)+Z}$
l’addition des entiers relatifs étant associative, $X+(Y+Z)=(X+Y)+Z$ , donc $\overline{X+(Y+Z)}=\overline{(X+Y)+Z}$ , donc $\overline{X}\bullet (\overline{Y}\bullet\overline{Z})=(\overline{X}\bullet\overline{Y})\bullet\overline{Z}$
la loi $\bullet$ est associative, donc $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\bullet)$ est un demi-groupe !

$0$ est l’élément neutre de l’addition, donc $X+0=0+X$ , d’où $\overline{X+0}=\overline{0+X}$ , et finalement $\overline{X}\bullet \overline{0}=\overline{0}\bullet \overline{X}$
$\overline{0}$ est donc l’élément neutre de la loi $\bullet$ , et $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\bullet)$ est un monoïde !

$\overline{0}\bullet\overline{0}=\overline{0}$ , donc $\overline{0}$ est son propre symétrique (normal, c’est l’élément neutre !)
$\overline{1}\bullet\overline{2}=\overline{2}\bullet\overline{1}=\overline{0}$ , donc $\overline{2}$ est le symétrique de $\overline{1}$ , et réciproquement
tous les éléments ont un symétrique, donc $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\bullet)$ est un groupe !

l’addition des entiers étant commutative, on en déduit très facilement qu’il en est de même pour la loi $\bullet$ : $\overline{X}\bullet\overline{Y}=\overline{X+Y}=\overline{Y+X}=\overline{Y}\bullet\overline{X}$
donc $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\bullet)$ est un groupe abélien !

$\overline{0}=\overline{1}\bullet\overline{1}\bullet\overline{1}$
$\overline{1}=\overline{1}\bullet\overline{1}\bullet\overline{1}\bullet\overline{1}$
$\overline{2}=\overline{1}\bullet\overline{1}$
donc $\overline{1}$ est un élément générateur, et $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\bullet)$ est un groupe abélien cyclique
CQFD

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François
le 3 décembre 2015 à 18h35

Tu ne nous a laissé aucune chance…

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Fabrice
le 4 décembre 2015 à 6h43

Ouahouhhhhhh, Moïse peut aller se rabiller, Juju n’ouvre pas la mer rouge,
elle marche carrément sur l’eau avec sa tabe de la loi

Dorénavant, je regarderai les séries Z autrement

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François
le 4 décembre 2015 à 10h35

C’est un peu comme retranscrire de tête une nocturne de Chopin alors qu’on ne connait rien au solfège!

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Juju
le 4 décembre 2015 à 15h02

franchement, c’était si compliqué que ça ?

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François
le 4 décembre 2015 à 20h33

Sans doute pas pour un matheux même de base, mais pour une lopette-en-maths comme moi, qui a une mémoire de bigorneau, c’est compliqué… Il faudrait que j’y passe des journées entières, ce qui n’est pas dans ma nature!

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Juju
le 5 décembre 2015 à 18h41

il va de soi (enfin j’espère…) que ce qui précède est transposable à tous les autres ensembles-quotients, donc $\forall n\in\mathbb{N}~(n\neq 0),~(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\bullet)$ est un groupe abélien cyclique

reste le cas particulier de $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$ : d’après la remarque faite dans un commentaire précédent (tout entier est le reste de sa division euclidienne par $0$ ) $\overline{X}=\{X\}$ donc $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$ a le même nombre d’éléments que $\mathbb{Z}$ (c’est le seul ensemble-quotient infini) et la loi $\bullet$ y est identique à l’addition dans $\mathbb{Z}$ ! pas besoin d’une longue démonstration pour conclure que $(\mathbb{Z}/0\mathbb{Z},\bullet)$ est aussi un groupe abélien cyclique…

je termine par une remarque importante pour la suite : en terme de nombres d’éléments, les ensembles-quotients couvrent donc toutes les possibilités, y compris le nombre infini d’entiers relatifs !

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Fabrice
le 7 décembre 2015 à 6h38

Je suppose que les abéliens cycliques ont aussi formé un groupe sur Facebook …

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Juju
le 7 décembre 2015 à 16h18

ha ha… probablement !

ultime précision : la loi $\bullet$ telle que nous l’avons définie dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est en fait usuellement usuellement notée $+$ en raison de sa similarité avec l’addition « classique » dans $\mathbb{Z}$ , avec laquelle il ne faut néanmoins pas la confondre !

avec cette nouvelle notation, nous pouvons dire que $\forall n\in\mathbb{N},~(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ est un groupe abélien cyclique !

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