27 nov 2015 7 Comments

structures algébriques | 7

dans un groupe $(E,\bullet)$ un élément $g$ est appelé générateur si tout élément de $E$ peut être construit en appliquant (autant de fois que nécessaire) la loi $\bullet$ à $g$ et/ou son symétrique !

par exemple, $1$ (dont le symétrique est $-1$ ) est générateur pour le groupe $(\mathbb{Z},+)$ :

$-3=(-1)+(-1)+(-1)$
$-2=(-1)+(-1)$
$-1=1+(-1)+(-1)$
$0=1+(-1)$
$1=1+1+(-1)$
$2=1+1$
$3=1+1+1$

(c’est facile de généraliser ‒ par récurrence ‒ à n’importe quel élément de $\mathbb{Z}$ )

un groupe qui a un élément générateur est dit cyclique.

par Juju dans initiation maths

7 commentaires

François
le 27 novembre 2015 à 7h23

S’il est bien facile de l’imaginer avec $(\mathbb{Z},+)$ , ça l’est beaucoup moins avec une autre structure…

Un expert en générateurs est il un cycliste?

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- François
  le 27 novembre 2015 à 7h26
  
  Oups! Merci de rajouter le « latexpage », moi j’peux pas (encore).
  
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Juju
le 27 novembre 2015 à 19h26

tu n’as pas tort, François : $(\mathbb{Z},+)$ est (avec les groupes qui lui sont isomorphes ‒ une notion que nous étudierons plus tard) le seul groupe cyclique infini !

en revanche, beaucoup de groupes finis sont cycliques… c’est le cas du « groupe des rotations » sur lequel nous avons déjà travaillé, pour lequel $r_{90}$ est générateur :

$r_{90}~=~r_{90}\bullet r_{90}\bullet r_{90}\bullet r_{90}\bullet r_{90}$

$r_{180}~=~r_{90}\bullet r_{90}$

$r_{270}~=~r_{90}\bullet r_{90}\bullet r_{90}$

$r_{360}~=~r_{90}\bullet r_{90}\bullet r_{90}\bullet r_{90}$

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François
le 28 novembre 2015 à 6h01

C’est vrai, je l’avais oublié celui là. En fait c’est un $(\mathbb {Z},+)$ bricolé et tronqué, non? Hé, ce qui llui donne « la même gueule » et le mêmes propriétés, il lui est isomorphe, c’est ça? A moins que mes vagues notion de grec ne me trahissent…

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Juju
le 28 novembre 2015 à 13h26

c’est un peu plus compliqué que ça, mais je te donne quand même un bon point pour cette intuition, François !

pour que deux groupes soient « isomorphes » il faut déjà qu’ils aient la même cardinalité (c’est-à-dire, en simplifiant un peu, le même nombre d’éléments ‒ notion limpide pour les ensembles finis, beaucoup moins pour les ensembles infinis…) donc $(\mathbb{Z},+)$ ne peut pas être isomorphe à notre groupe rotatif !

mais il existe un groupe numérique additif (c’est-à-dire dont la loi est une forme d’addition arithmétique, adaptée à un ensemble fini) qui l’est ! et alors là, nous nous approchons à pas feutrés de choses vraiment passionnantes !

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François
le 28 novembre 2015 à 17h41

Ça me fera du boulot pour meubler mon décalage horaire pendant les nuits guadeloupéennes! Mais c’est entendu: Je mets des pantoufles de feutre par dessus mes pieds nus pour ne pas ébranler les ensembles cristallins et leurs lois délicates qui s’enfuient si je fais trop de bruit.

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Fabrice
le 30 novembre 2015 à 6h41

Oh lala, Le suspens est insoutenable …

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