structures algébriques | 4

dans un ensemble E muni d’une loi \bullet admettant un élément neutre n :
si x \bullet y~=~y \bullet x~=~n alors y est appelé élément symétrique de x, et inversement

dans le cas général, un élément symétrique n’est pas forcément unique ! mais si la loi est associative on peut très facilement démontrer que, dans ce cas, si l’élément symétrique existe alors il est unique… (vous essayez ?)

vous pouvez aussi vous amuser à démontrer que l’élément neutre est son propre inverse !

un monoïde dont tous les éléments ont un symétrique est appelé un groupe.

(\mathbb{Z},+) et (\mathbb{R},+) sont des groupes
(\mathbb{N},+) ne l’est pas