structures algébriques | 3

un élément neutre n d’un ensemble E pour une loi \bullet est un élément qui laisse tous les éléments de E inchangés lorsqu’ils sont composés avec lui :
\forall x\in E,~n\bullet x=x (élément neutre à gauche)
\forall x\in E,~x\bullet n=x (élément neutre à droite)

si un ensemble E a un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors c’est le même et il est unique (faites-moi plaisir, démontrez-le…) et on l’appelle l’élément neutre de E tout court !

en revanche, s’il y a un élément neutre à gauche et pas à droite (ou inversement), il est possible qu’il ne soit pas unique !

une structure algébrique possédant un élément neutre est dite unifère !

un monoïde est un magma associatif et unifère, autrement dit un demi-groupe unifère…

0 est l’élément neutre pour l’addition
1 est l’élément neutre pour la multiplication
0 est élément neutre à droite pour la soustraction, mais il n’existe pas d’élément neutre à gauche
1 est élément neutre à droite pour la division, mais il n’existe pas d’élément neutre à gauche