structures algébriques | 1

d’une façon générale, une structure algébrique est un ensemble doté d’une ou plusieurs lois de composition interne !

une loi de composition de interne dans un ensemble E est une opération qui, à un couple quelconque d’éléments de E, associe un (unique) élément de E !

par exemple :
l’addition dans l’ensemble des entiers naturels \mathbb{N}=\{0,~1,~2,~3,~...\} est une loi de composition interne
la soustraction ne l’est pas, parce qu’elle peut donner un résultat négatif, donc qui n’appartient pas à \mathbb{N}
mais elle l’est dans l’ensemble des entiers relatifs \mathbb{Z}=\{...,~-3,~2,~1,~0,~1,~2,~3,~...\}

premier sujet de réflexion : l’addition ne peut pas être une loi de composition interne dans un ensemble de nombres positifs ayant une borne supérieure (autrement dit, un élément plus grand que tous les autres ! pouvez-vous expliquer pourquoi ?

la structure algébrique la plus « basique » est le magma : c’est tout simplement un ensemble E doté d’une loi de composition interne quelconque \bullet (aucun axiome n’est imposé à cette loi) ! Notation : \left(E,\bullet\right)

deux remarques pour terminer ce premier article :
1) à l’avenir, par commodité nous utiliserons « loi » tout court pour désigner une loi de composition interne
2) la plupart du temps, nous donnerons des exemples utilisant des ensembles de nombres, mais il faut garder en mémoire que les définitions et les démonstrations s’appliquent à n’importe quel type d’ensemble !