trigo | épisode 7

dans ce 7ème épisode, nous allons nous intéresser aux fonctions réciproques des fonctions sin, cos et tan ! ces fonctions sont appelées fonctions « arcs » et notées arcsin, arccos et arctan. je vous fais la version empirique (la plus simple) :

par définition d’une fonction réciproque :
\alpha = \arcsin\left(x\right) signifie que \sin\alpha=x
\alpha = \arccos\left(x\right) signifie que \cos\alpha=x

x étant un sinus ou un cosinus, il en résulte que les fonctions arcsin et arccos sont définies sur l’intervalle \left[-1;+1\right]

les représentations graphiques de l’épisode 6 montrent qu’on couvre cette plage de sinus (de façon croissante) avec un angle -\dfrac{\pi}{2}\leqslant\alpha\leqslant+\dfrac{\pi}{2} et cette plage de cosinus
(de façon décroissante) avec un angle 0\leqslant\alpha\leqslant\pi

en gardant ces seules portions des courbes, et en inversant les axes (réciprocité oblige…) on obtient directement les fonctions arcsin et arccos :

même principe pour la fonction tan :
\alpha = \arctan\left(x\right) signifie que \tan\alpha=x

x étant une tangente, il en résulte que la fonction arctan est définie sur l’intervalle \left]-\infty;+\infty\right[

la représentation graphique de l’épisode 6 montre qu’on couvre cette plage de tangente (de façon croissante) avec un angle -\dfrac{\pi}{2}\leqslant\alpha\leqslant+\dfrac{\pi}{2}

en gardant cette seule portion de la courbe, et en inversant les axes (réciprocité oblige…) on obtient directement la fonctions arctan :

(en termes plus mathématiques, l’inversion des axes correspond à la symétrie axiale par rapport à la première diagonale, autrement dit la droite d’équation y=x)

[ je rappelle que les très jolis dessins de la rubrique mathématique sont tous réalisés avec l’excellentissime logiciel GeoGebra, qui est disponible gratuitement sur tous les supports (Windows, Mac OS, iOS, Android, Linux), et utilisable avec grand bonheur de l’école primaire jusqu’à l’enseignement supérieur ! ]